Cum se calculează nivelul mediu al unui exemplu de serie de dinamică. Indicatori ai seriilor de dinamică: calculul și prognoza lor. Metoda de aliniere analitică
16. Indicatori de serie temporală, calculul și aplicarea lor practică.
Serii de timp- o serie de mărimi omogene comparabile care prezintă modificări ale fenomenului studiat în timp. Aceasta este o formă statistică de afișare a dezvoltării fenomenelor în timp. Numerele care alcătuiesc o serie dinamică sunt de obicei numite niveluri de serie. Nivelurile seriei pot fi reprezentate prin numere absolute, valori relative și medii .
Se disting următoarele tipuri de serii temporale.
Simplu- o serie compusă din valori absolute care caracterizează
dinamica unui fenomen.
Seriile simple sunt punctul de plecare pentru construirea serii derivate.
Derivat- o serie formată din valori medii sau relative.
Serii de intervale constă dintr-o serie secvenţială de numere care caracterizează o modificare a unui fenomen pentru o anumită perioadă (în timp).
Seria de momente constă din cantități care determină dimensiunea unui fenomen nu pentru orice perioadă de timp, ci pentru o anumită dată - moment.
Pentru o înțelegere mai profundă a esenței dezvoltării fenomenelor sociale, se calculează indicatori de serie dinamică precum creșterea absolută, rata de creștere, rata de creștere, valoarea absolută a creșterii de 1%.
Creștere absolută numiți diferența dintre fiecare nivel ulterior și nivelul anterior. Creșterea absolută poate fi pozitivă sau negativă.
Rata de crestere este raportul dintre fiecare nivel ulterior și cel anterior, exprimat în procente.
Rata de crestere este raportul dintre creșterea absolută și nivelul anterior, luat ca 100%.
Întrucât fiecărui indicator relativ îi corespund anumite valori absolute, atunci când se studiază ratele de creștere este necesar să se țină cont de ce valoare absolută corespunde fiecărui procent de creștere și care este conținutul acestuia. În acest scop se calculează următorul indicator: valoare absolută de unu la sută creştere. Este definit ca coeficientul de creștere absolută într-o anumită perioadă împărțit la rata de creștere procentuală în aceeași perioadă.
Pentru a ilustra calculele indicatorilor statistici considerați, prezentăm o serie de dinamici.
Să dăm un exemplu. Este necesar să se analizeze dinamica natalității într-o anumită zonă (Tabelul 5).
Tabelul 5 - Dinamica fertilității în regiune pentru 1996–2005.
|
Fertilitate, % |
Creștere absolută |
Rata de creștere, % |
Valoarea absolută a creșterii cu 1%. |
||
1. Determinați creșterea absolută: 8,9 – 9,4 = – 0,5; 9,2 – 8,9 = 0,3 etc.
Calculăm rata de creștere: – 0,5×100/9,4 = – 5,3 etc.
3. Aflați rata de creștere: 8,9 × 100/9,4 = 94,7 etc.
4. Obținem valoarea absolută a creșterii de 1%: – 0,5/ – 5,3 = 0,09
O serie dinamică nu constă întotdeauna din niveluri care se schimbă constant în direcția scăderii sau creșterii. Adesea, nivelurile seriilor temporale fluctuează brusc, iar acest lucru nu ne permite să identificăm principala tendință inerentă fenomenului studiat pe o anumită perioadă de timp. În astfel de cazuri, seria temporală este aliniată. Există mai multe moduri de a alinia o serie de timp: mărirea intervalului, netezire prin calcularea unei medii mobile, alinierea analitică de-a lungul unei linii drepte etc.
Luați în considerare alinierea în linie dreaptă, care se face după cum urmează:
Y t (niveluri teoretice) = a o + a 1 t, unde t este simbolul timpului, iar o și a 1 sunt parametrii dreptei dorite, care se găsesc din rezolvarea sistemului de ecuații:
na 0 + a 1 Σt = Σy;
a 0 Σt + a 1 Σt 2 = Σyt; unde y - niveluri reale; n este numărul de rânduri dinamice. Sistemul de ecuații este simplificat dacă t este selectat astfel încât suma lor să fie egală cu 0, adică. mutați începutul numărului de timp la mijlocul perioadei luate în considerare. Apoi:
a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 .
Înlocuind valorile obținute ale lui 0 și 1 în formulă, se calculează toate valorile nivelului teoretic.
Luați în considerare următorul exemplu (Tabelul 6):
Tabelul 6: Egalizarea fertilităţii pentru 2003–2008
|
Fertilitatea, (y) |
Condiţional desemnarea timpului, t |
Nivel teoretic după nivelare |
Medii mobile pe trei ani |
|||
n = 6 Σy = 53,6 Σyt = – 30,6 Σ tt=70.
Dacă rândul este par, numărarea începe de la 1 (mijlocul rândului), apoi numerele impare succesiv 3, 5, 7 etc. în ambele sensuri (sus cu –; jos cu +); dacă rândul este impar, simbolul timpului începe de la 0 (mijlocul rândului), apoi 1, 2, 3 etc. în ambele sensuri.
Procedura de calcul este următoarea:
Y t (niveluri teoretice) = a o + a 1 t;
a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/Σt 2 ;
a 0 = 8,9 a 1 = – 0,4;
8,9 + (– 0,4) × (– 5) = 11;
8,9 + (– 0,4) × (– 3) = 10,1; etc.
Procedura de calcul a mediei mobile:
Pentru 2004 (9,4 + 8,9 + 9,2) / 3 = 9,2.
Pentru 2005 (8,9 + 9,2 + 8,3) / 3 = 8,8 etc.
Intervalul este mărit prin însumarea datelor pentru un număr de perioade adiacente (Tabelul 7).
Tabelul 7
|
Fertilitate |
Pentru 2003–2005, natalitatea este 9,4 + 8,9 + 9,2 = 27,5.
Pentru 2006–2008, natalitatea este 8,3 + 9,4 + 8,4 = 26,1.
17. Legături între fenomene (funcționale, de corelare). Tipuri de corelații după putere și direcție. Metoda corelației în serie (Pearson), etape de calcul al coeficientului de corelație, evaluarea fiabilității
Toate fenomenele din natură și societate sunt interconectate. După natura dependenței fenomenelor, acestea se disting:
funcțional (plin);
conexiune de corelare (incompletă).
Conexiune funcționalăînseamnă o dependență strictă a fenomenelor, când orice valoare a unuia dintre ele corespunde întotdeauna unei anumite, aceeași valoare a celuilalt.
Cu o conexiune de corelare aceeași valoare a unei caracteristici corespunde unor valori diferite ale alteia. De exemplu: există o corelație între înălțime și greutate, între incidența neoplasmelor maligne și vârstă etc.
Direcția distinge între corelațiile directe și inverse. Într-un caz direct, o creștere a uneia dintre caracteristici duce la o creștere a celeilalte; în cazul opus, pe măsură ce o caracteristică crește, a doua scade.
Puterea conexiunii poate fi puternică, medie sau slabă. Pe baza analizei statistice, este posibil să se stabilească prezența unei relații, direcția acesteia și să se măsoare puterea acesteia.
O modalitate de a măsura relația dintre fenomene este de a calcula coeficientul de corelație, care se notează rxy. 
Cea mai precisă este metoda pătratelor (Pearson), în care coeficientul de corelație este determinat de formula:
, Unde
r xy este coeficientul de corelație dintre seriile statistice X și Y.
d x este abaterea fiecăruia dintre numerele seriei statistice X de la media sa aritmetică.
d y este abaterea fiecăruia dintre numerele seriei statistice Y de la media sa aritmetică.
În funcție de puterea conexiunii și de direcția acesteia, coeficientul de corelație poate varia de la 0 la 1 (-1). Un coeficient de corelație de 0 indică o lipsă completă de conexiune. Cu cât nivelul coeficientului de corelație este mai aproape de 1 sau (-1), cu atât este mai mare și mai aproape direct sau feedback-ul pe care îl măsoară. Când coeficientul de corelație este egal cu 1 sau (-1), conexiunea este completă și funcțională.
|
Schema de evaluare a puterii corelației folosind coeficientul de corelație |
Puterea conexiunii |
|
|
Valoarea coeficientului de corelație, dacă este disponibil | ||
|
feedback | ||
|
Nicio conexiune |
Conexiunea este mică (slabă) |
de la 0 la +0,29 |
|
de la 0 la –0,29 |
Media conexiunii (moderată) |
de la +0,3 la +0,69 |
|
de la –0,3 la –0,69 |
Legătura este mare (puternică) |
de la +0,7 la +0,99 |
|
de la –0,7 la –0,99 Comunicare deplină | ||
Pentru a calcula coeficientul de corelație folosind metoda pătratului, se întocmește un tabel de 7 coloane. Să ne uităm la procesul de calcul folosind un exemplu:
DETERMINAȚI FORTAȚIA ȘI NATURA LEGĂTURII DINTRE
|
E timpul- ness guşă (V y ) |
d x = V x –M x |
d y = V y –M y |
d x d y |
d x 2 |
d y 2 |
|
|
Σ -1345 ,0 |
Σ 13996 ,0 |
Σ 313 , 47 |
1. Determinați conținutul mediu de iod din apă (în mg/l).
mg/l
2. Determinați incidența medie a gușii în %.
3. Determinați abaterea fiecărui V x de la M x, adică. dx.
201–138=63; 178–138=40 etc.
4. În mod similar, determinăm abaterea fiecărui V y de la M y, adică. d y.
0,2–3,8=-3,6; 0,6–38=-3,2 etc.
5. Determinați produsele abaterilor. Însumăm produsul rezultat și obținem.
6. Patratăm d x și însumăm rezultatele, obținem.
7. În mod similar, pătratăm d y, însumăm rezultatele, obținem
8. În cele din urmă, înlocuim toate sumele primite în formula:
Pentru a rezolva problema fiabilității coeficientului de corelație, eroarea medie a acestuia este determinată folosind formula:
(Dacă numărul de observații este mai mic de 30, atunci numitorul este n–1).
În exemplul nostru
Valoarea coeficientului de corelație este considerată fiabilă dacă este de cel puțin 3 ori mai mare decât eroarea sa medie.
În exemplul nostru 
Astfel, coeficientul de corelație nu este de încredere, ceea ce necesită o creștere a numărului de observații.
Coeficientul de corelație poate fi determinat într-un mod puțin mai puțin precis, dar mult mai ușor - metoda rangurilor (Spearman).
Evaluare de încredere:
1. evaluarea fiabilității indicatorului intensiv:
m = √P x q / n (rădăcina tuturor)
unde p este un indicator exprimat în %, ‰, %oo etc. q = (100 - p), cu p exprimat în %; sau (1000 - p), cu p exprimat în ‰ sau (10000 - p), cu p exprimat în %oo etc.
t=1, încredere 68,3%
2. Evaluarea fiabilității diferenței dintre 2 indicatori intensivi
Erorile M1 și M2 de reprezentativitate.
3. evaluarea fiabilității mediei aritmetice
unde σ - abaterea standard n - numărul de observații
T=M/m, dacă t este mai mare decât 2, cf. aritmetica este de încredere.
4 .evaluarea fiabilității diferenței 2 cf. aritmetică
Pentru a găsi valoarea medie a unei serii de momente cu niveluri egale folosiți media cronologică: .
Cronologic mediu pentru diferite niveluri de serie de momente:
Scopul serviciului. Folosind asta calculator online poate fi calculat valoarea medie a seriei de momente conform formulelor cronologice medii.
Instrucţiuni. Selectați cantitatea de date și specificați dacă este vorba de zile, luni sau ani
Exemplul nr. 1. Populația orașului era:
- de la 1 ianuarie – 80.500 de persoane,
- de la 1 februarie – 80.540 persoane,
- de la 1 martie – 80.550 persoane,
- de la 1 aprilie – 80.560 de persoane,
- de la 1 iulie – 80.620 persoane,
- de la 1 octombrie – 80.680 de persoane,
- la 1 ianuarie a anului următor - 80.690 persoane.
Soluţie.
Datele prezentate sunt o serie de momente. Găsim media folosind formula medie cronologică.
Cronologic mediu pentru diferite niveluri ale seriei de momente:
y av = (80500+80540)*1 + (80540+80550)*1 + (80550+80560)*1 + (80560+80620)*3 + (80620+80680)*3 + (80680+80690)*3 /(2*12) = 1934790/(2*12) = 80616,25 ≈ 80616 persoane
Media pentru primul trimestru: 
Uman
Media pentru al doilea trimestru: 
Uman
Media pentru trimestrul al treilea: 
Uman
Media pentru prima jumătate a anului:
Uman
Exemplul nr. 2. Conform Tabelele 7(Anexa 2) selectați seria dinamică corespunzătoare opțiunii dvs., pentru care:
1. Calculați:
a) nivelul mediu anual al seriei de dinamică;
b) lanț și indicatori de bază ai dinamicii: creștere absolută, ritm de creștere, ritm de creștere;
c) creștere medie absolută, ritm mediu de creștere, ritm mediu de creștere.
Orientări
Pentru a caracteriza dinamica se calculează un sistem de indicatori de dinamică.
| Indicator de dinamică | Formule de calcul | |
| pe bază de lanț | pe o bază de bază | |
| Creștere absolută (+), scădere (-) | Δ c =y i -y i-1 | Δ b =y i -y 1 |
| Rata de crestere | ||
| Rata de crestere |  |  |
| Rata de crestere |  |  |
| Valoarea absolută de un procent de creștere | A1%=0,01·y i-1 | - |
- niveluri medii ale rândurilor;
- indicatori medii ai modificărilor nivelurilor de serie.
Pentru a afla nivelul mediu al unei serii de momente, utilizați media cronologică: .
Creștere medie absolută calculat în funcție de datele inițiale în următoarele moduri:
sau
Rata medie de creștere(scădere):
sau, . Rata medie de creștere(scădere):
.
În exemplul următor găsim dimensiune medie fond salariile(pentru serii de intervale).
| An | Fond de salarizare, mii de ruble. |
| 1994 | 300 |
| 1995 | 349 |
| 1996 | 379 |
| 1997 | 450 |
| 1998 | 501 |
| 1999 | 581 |
| 2000 | 600 |
| 2001 | 648 |
| 2002 | 677 |
| 2003 | 748 |
| 2004 | 800 |
Nivelul mediu al seriei de intervale se calculează folosind formula:
Mărimea medie a salariului din 1994 până în 2004 a fost de 548,45 mii de ruble.
Rata medie de creștere
În medie, pe toată perioada 1994-2004, creșterea salariilor a fost de 1,1 (creștere cu 10% anual).
Rata medie de creștere
Creștere medie absolută
În medie, pe toată perioada, fondul de salarii a crescut cu 50 de mii de ruble. în fiecare an.
În exemplul următor, vom găsi numărul mediu de personal de producție (pentru seria momentului).
Indicatori de lanț ai unei serii de dinamici.
| Perioadă | numărul de PPP | Creștere absolută | Rata de creștere, % | Rata de crestere, % | Conținut absolut de creștere cu 1%. | Rata de crestere, % |
| 1994 | 470 | 0 | 0 | 100 | 4.7 | 0 |
| 1995 | 500 | 30 | 6.38 | 106.38 | 4.7 | 6.38 |
| 1996 | 505 | 5 | 1 | 101 | 5 | 1.06 |
| 1997 | 533 | 28 | 5.54 | 105.54 | 5.05 | 5.96 |
| 1998 | 540 | 7 | 1.31 | 101.31 | 5.33 | 1.49 |
| 1999 | 589 | 49 | 9.07 | 109.07 | 5.4 | 10.43 |
| 2000 | 577 | -12 | -2.04 | 97.96 | 5.89 | -2.55 |
| 2001 | 594 | 17 | 2.95 | 102.95 | 5.77 | 3.62 |
| 2002 | 640 | 46 | 7.74 | 107.74 | 5.94 | 9.79 |
| 2003 | 628 | -12 | -1.88 | 98.13 | 6.4 | -2.55 |
| 2004 | 646 | 18 | 2.87 | 102.87 | 6.28 | 3.83 |
Pentru a găsi nivelul mediu al unei serii de momente, utilizați media cronologică:
Numărul mediu de personal industrial al întreprinderii pentru perioada analizată a fost de 566,4 persoane.
Atunci când se analizează o serie de timp, se calculează următorii indicatori:
- nivelul mediu al seriei dinamice;
- creștere absolută: creștere în lanț și de bază, medie absolută;
- rate de creștere: lanț și bază, rata medie de creștere;
- rate de creștere: în lanț și de bază, rata medie de creștere;
- valoarea absolută a creșterii cu un procent.
Indicatorii de lanț și de bază sunt calculați pentru a caracteriza modificările nivelurilor unei serii dinamice și diferă unul de celălalt în bazele lor de comparație: indicatorii de lanț sunt calculați în raport cu nivelul anterior (bază de comparație variabilă), indicatorii de bază sunt calculați în raport cu nivel luat ca bază de comparație (bază de comparație constantă).
Indicatorii medii reprezintă caracteristici generalizate ale unei serii de dinamici. Cu ajutorul lor, intensitatea dezvoltării unui fenomen este comparată în raport cu diverse obiecte, de exemplu, țări, industrii, întreprinderi etc., sau perioade de timp.
9.2.1. Nivel mediu al seriei de dinamică
Se numește o valoare numerică specifică a unui indicator statistic referitor la un moment sau o perioadă de timp nivelul seriei dinamiceși este notat cu y eu (unde i- indicator de timp).
Metoda de calcul a nivelului mediu depinde de tipul seriei temporale și anume: dacă este momentan sau interval, cu intervale de timp egale sau inegale între date adiacente.
Dacă se oferă o serie de intervale de dinamică a valorilor absolute sau medii cu perioade egale de timp, atunci pentru a calcula nivelul mediu, se utilizează formula medie aritmetică simplă:
unde y 1, y 2, y i, ..., y n - nivelurile seriei dinamice;
n este numărul de niveluri ale seriei.
Exemplul 9.2. Pe baza datelor din tabel, determinăm mărimea medie lunară compensare de asigurare, plătită de societatea de asigurări, pentru un obiect avariat timp de șase luni:
Dacă intervalele de timp ale seriei temporale de interval sunt inegale, atunci valoarea nivelului mediu se găsește folosind formula medie aritmetică ponderată, în care se utilizează ca ponderi lungimea perioadelor de timp corespunzătoare nivelurilor seriei temporale (t i).
Exemplul 9.3. Pe baza datelor prezentate în tabel, vom determina suma medie lunară a despăgubirilor de asigurare plătite de societatea de asigurări pentru un obiect deteriorat:
În serii de momente de dinamică cu intervale de timp egale între date, nivelul mediu al seriei se calculează folosind formula pentru media cronologică simplă.
unde y n sunt valorile indicatorului la sfârșitul perioadei analizate.
Exemplul 9.4. Conform datelor de dimensiune de mai jos numerar pe contul deponentului la începutul fiecărei luni, determinăm mărimea medie a depozitului în primul trimestru al anului 2006:
Nivelul mediu al seriei de momente de dinamică este egal cu:
Deși primul trimestru include trei luni (ianuarie, februarie, martie), patru niveluri ale seriei trebuie utilizate în calcul (inclusiv datele de la 1 aprilie). Acest lucru este ușor de demonstrat. Într-adevăr, dacă calculăm nivelurile medii pe lună, obținem:
în ianuarie
în februarie
Mediile calculate formează o serie de intervale de dinamică cu intervale de timp egale, în care nivelul mediu este calculat, după cum am văzut mai sus, folosind formula medie aritmetică simplă:
În mod similar, dacă doriți să calculați nivelul mediu al unei serii de momente de dinamică cu intervale egale între date pentru prima jumătate a anului, atunci ca ultimul nivel din formula pentru timpul de nefuncționare cronologic mediu ar trebui să luați date pentru 1 iulie, iar dacă pentru un an, date pentru 1 ianuarie a anului următor.
În serii de momente de dinamică cu intervale inegale între date, se utilizează formula medie ponderată cronologică pentru a determina nivelul mediu:
unde t i este durata perioadei de timp dintre două date adiacente.
Exemplul 9.5. Folosind datele privind stocurile de mărfuri la începutul lunii, determinăm mărimea medie a stocurilor în anul 2006.
| Data | 01.01.06 | 01.02.06 | 01.03.06 | 01.07.06 | 01.09.06 | 01.12.06 | 01.01.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Inventare de mărfuri, mii de ruble. | 1 320 | 1 472 | 1 518 | 1 300 | 1 100 | 1 005 | 920 |
Nivelul mediu al seriei este:
Distanța dintre date
Dacă este disponibil informatii complete despre valorile indicatorului statistic momentan pentru fiecare dată, apoi valoarea medie a acestui indicator pentru întreaga perioadă este calculată folosind formula medie aritmetică ponderată:
unde y i - valorile indicatorului
t i este durata perioadei în care această valoare a indicatorului statistic a rămas neschimbată.
Dacă completăm exemplul 9.4 cu informații despre datele modificării fondurilor din contul deponentului în primul trimestru al anului 2006, obținem:
- soldul de numerar de la 1 ianuarie - 132.000 de ruble;
- Emis în ianuarie - 19.711 ruble;
- 28 ianuarie depus - 35.000 de ruble;
- 20 februarie depus - 2000 de ruble;
- 24 februarie depus - 2581 ruble;
- Eliberat la 3 martie - 3370 ruble. (nu au avut loc alte modificări în martie).
Deci, de la 1 ianuarie până la 4 ianuarie (patru zile), valoarea indicatorului a rămas egală cu 132.000 de ruble, de la 5 ianuarie până la 27 ianuarie (23 de zile) valoarea sa a fost de 112.289 de ruble, de la 28 ianuarie până la 19 februarie (23 de zile) - 147.289 de ruble, de la 20 la 23 februarie (patru zile) - 149.289 de ruble, de la 24 februarie până la 2 martie (șapte zile) - 151.870 de ruble, de la 3 până la 31 martie (29 de zile) - 148.500 de ruble. Pentru comoditatea calculelor, prezentăm aceste date în tabel:
| Durata perioadei, zile | 4 | 23 | 23 | 4 | 7 | 29 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Sold de numerar, frecați. | 132 00 | 112 289 | 147 289 | 149 289 | 151 879 | 148 500 |
Folosind formula mediei aritmetice ponderate, găsim valoarea nivelului mediu al seriei
După cum puteți vedea, valoarea medie este diferită de cea obținută în exemplul 9.4, este mai precisă, deoarece în calcule au fost utilizate informații mai precise. În exemplul 9.4, se cunoșteau doar datele de la începutul fiecărei luni, dar nu s-a precizat când s-au produs exact modificările indicatorului;
În concluzie, observăm că calcularea nivelului mediu al unei serii își pierde sensul analitic în cazurile de variabilitate mare a indicatorului în cadrul seriei, precum și în cazurile de schimbare bruscă a direcției de dezvoltare a fenomenului.
9.2.2. Indicatori ai modificărilor absolute ale nivelurilor seriilor temporale
Creșterile absolute sunt calculate ca diferență între două valori ale nivelurilor adiacente ale unei serii dinamice (creșteri în lanț) sau ca diferență între valorile nivelului curent și nivelul luat ca bază de comparație (creșteri de bază). Indicatorii de creștere absolută au aceleași unități de măsură ca și nivelurile seriei de timp. Acestea arată câte unități s-a schimbat indicatorul în timpul tranziției de la un moment sau o perioadă de timp la alta.
Creșterile absolute de bază sunt calculate folosind formula
unde y i - i-lea curent nivelul rândului,
y 1 - primul nivel al seriei de dinamică, luat ca bază de comparație.
Formula pentru determinarea creșterilor absolute în lanț are forma
unde i - 1 este nivelul care precede nivelul i al seriei dinamice.
Creșterea medie absolută arată câte unități în medie lunară, trimestrială sau anuală etc. valoarea indicatorului s-a modificat în perioada de timp luată în considerare. În funcție de ce date avem, acestea pot fi calculate în următoarele moduri:
Exemplul 9.6. Folosind datele din tabel, vom determina indicatorii creșterilor absolute ale sumei compensației de asigurare plătite de compania de asigurări.
* Suma tuturor creșterilor absolute calculate în lanț oferă creșterea absolută de bază a ultimei perioade.
Creșterea medie lunară absolută pentru jumătate de an este egală cu
Astfel, în medie, suma lunară a plăților compensațiilor de asigurare a crescut cu 1,2 mii de ruble.
9.2.3. Indicatori ai modificărilor relative ale nivelurilor seriilor temporale
Caracteristicile schimbării relative a nivelurilor unei serii de dinamici sunt coeficienții și ratele de creștere ale valorilor indicatorului și rata de creștere a acestora.
Coeficientul de creștere este raportul dintre două niveluri ale unei serii de timp, exprimat ca raport multiplu simplu. Arată de câte ori s-a schimbat valoarea indicatorului într-o perioadă (punct) de timp în comparație cu alta. Rata de creștere este rata de creștere exprimată ca procent. Arată ce procent este valoarea indicatorului într-o perioadă dată, dacă nivelul cu care se face comparația este luat ca 100%.
La fel ca creșterile absolute, coeficienții și ratele de creștere pot fi în lanț și de bază.
Coeficientul de lanț și rata de creștere măsoară modificarea relativă a nivelului actual al indicatorului față de nivelul anterior:
factor de crestere:
rata de crestere:
Coeficientul de bază și rata de creștere caracterizează modificarea relativă a nivelului actual al indicatorului în comparație cu nivelul de bază (cel mai adesea primul):
rata de crestere
rata de crestere
Lanțul și coeficienții de creștere de bază au următoarea relație între ei:
Rata medie de creștere și coeficientul de creștere în serii de timp cu niveluri egal distanțate sunt calculate folosind formula medie geometrică simplă
Factori de creștere în lanț;
- ratele de creștere a lanțului.
Aceste formule pot fi reduse la următoarea formă:
Pentru a determina în ce procent nivelul actual al indicatorului este mai mare sau mai mic decât valoarea nivelului anterior sau de bază, se calculează rata de creștere. Acestea sunt calculate scăzând 100% din ratele de creștere corespunzătoare:
Rata medie de creștere este calculată într-un mod similar: 100% se scade din rata medie de creștere:
Exemplul 9.7. Tabelul prezintă coeficienții de creștere calculați, ratele de creștere și creșterile indicatorului care caracterizează valoarea medie lunară a compensației de asigurare plătite de companie pentru perioada ianuarie-iunie.
O analiză cuprinzătoare a seriilor de timp, de regulă, include nu numai calcularea caracteristicilor intensității modificărilor nivelurilor seriei în timpul tranziției de la un moment sau perioadă de timp la alta (creșteri absolute, coeficienți și rate de creștere și câștig), dar și constatarea caracteristicilor medii generalizate (nivelul mediu al seriei, ratele medii de creștere și câștigurile), dar și identificarea tiparelor de bază în dezvoltarea seriei temporale. Determinarea tendințelor de dezvoltare, construirea unui model care descrie schimbările unui fenomen în timp, prognozarea unui fenomen - toate acestea cele mai importante sarcini la studierea seriilor temporale de indicatori economici şi sociali.
Formarea nivelurilor seriilor temporale este influențată de mulți factori diferiți, care, pe baza naturii impactului lor, pot fi combinați în trei grupuri:
- acționând îndelungat și determinând principala tendință de dezvoltare a fenomenului;
- functioneaza periodic - fluctuatii sezoniere si ciclice;
- provocând fluctuații aleatorii ale nivelurilor seriei de timp.
În consecință, pentru a analiza modelul modificărilor nivelurilor unei serii de dinamice în timp, se utilizează următorul model:
unde T t este tendința principală a seriei (tendință);
S t - fluctuații ciclice (în special, sezoniere);
e t - fluctuaţii aleatorii.
În modelul aditiv, o serie de dinamică este prezentată ca suma componentelor enumerate, în modelul multiplicativ - ca produsul lor [ 
]. În cele ce urmează, vom pleca de la ipoteza unei forme multiplicative de legătură între componentele seriei dinamice.
O tendință de dezvoltare, sau tendință, este direcția formată de dezvoltare a unui fenomen în timp sub influența factorilor care funcționează constant. Este posibil să se judece prezența unei tendințe într-o serie de timp pe baza analizei sale vizuale numai atunci când este clar vizibil că atunci când se trece de la un moment în altul în timp, nivelurile seriei cresc sau scad. Cu toate acestea, de regulă, este imposibil să spunem imediat dacă există sau nu o tendință de modificare a nivelurilor seriei temporale. Pentru aceasta se folosesc metode speciale.
Metodele de identificare a tendinței principale în dezvoltarea unei serii temporale (T t) includ:
- metoda de marire a intervalului;
- metoda mediei mobile;
- alinierea analitică a seriilor de timp.
Să le aruncăm o privire mai atentă.
9.3.1. Metoda de mărire a intervalului
Aplicație metoda de marire a intervalului Să luăm în considerare pe baza datelor din tabel. 9.13.
| Furnizare de bunuri către lanțuri de vânzare cu amănuntul | Lună |
|---|---|
| Furnizare de bunuri, milioane de ruble. | 80 |
| ianuarie | 78 |
| februarie | 75 |
| martie | 80 |
| aprilie | 82 |
| mai | 85 |
| iunie | 87 |
| iulie | 82 |
| august | 85 |
| septembrie | 84 |
| octombrie | 86 |
| noiembrie | 88 |
După cum vedem, analiza vizuală a datelor nu ne permite să tragem concluzii cu privire la prezența unei tendințe în această serie dinamică: în anumite luni, de exemplu, în februarie, martie, august, octombrie și decembrie, livrările de bunuri. a scăzut față de lunile precedente, în alte perioade – a crescut.
Să aplicăm metoda de mărire a intervalelor la datele inițiale, formând o nouă serie temporală cu perioade de timp mai mari - trimestre, și să calculăm volumul mediu lunar al livrărilor în fiecare trimestru (Tabelul 9.14).
Deci, pe baza noilor intervale, mai mari, este deja clar vizibil că valorile caracteristicii studiate în aspectul temporal tind să crească.
Aplicarea metodei luate în considerare se limitează în principal la acele situații în care datele sursă se referă la zile, săptămâni sau luni ale anului, deoarece valorile caracteristicii studiate pe intervale de timp mai mici sunt mai susceptibile la fluctuații aleatorii. Dacă intervalele de timp sunt ani, atunci mărirea intervalelor devine ineficientă.
9.3.2. Metoda mediei mobile
Următorul mod de a identifica tendințele într-o serie de timp se bazează pe calculul și analiza așa-numitelor medii mobile.
Mediile mobile (în mișcare) sunt mediile aritmetice ale unui indicator, calculate folosind noi intervale m-terme mărite. Regulile pentru construirea acestor intervale sunt următoarele. Primul dintre intervale include primele m niveluri ale seriei de dinamică, al doilea interval se formează prin excluderea primului membru al intervalului lărgit și înlocuirea acestuia cu elementul ulterior al seriei de dinamică, numerotat (m + 1) etc. - până când ultimul nivel al seriei este inclus în interval. Pe baza mediilor mobile calculate în mod similar, se trage o concluzie despre existența unei tendințe în seria temporală.
Dacă o perioadă de trei luni este utilizată ca interval extins, atunci prima medie mobilă pe trei termeni este calculată ca medie aritmetică din datele pentru ianuarie, februarie și martie, a doua - ca medie aritmetică din datele pentru februarie, martie, aprilie, etc. Valorile mediilor mobile se referă la o anumită perioadă de timp corespunzătoare mijlocului intervalului mărit.
Să netezim seria folosind metoda mediei mobile pe trei termeni (Tabelul 9.15).
În exemplul nostru, prima medie mobilă este pentru februarie, a doua este pentru martie etc.
În cazurile în care netezirea se efectuează pe un număr par de niveluri ale seriei de dinamică, mijlocul intervalului de timp de netezire va fi între două momente (perioade) de timp. De exemplu, dacă netezirea se realizează folosind patru termeni, mijlocul primului interval va fi între februarie și martie, al doilea interval va fi între martie și aprilie etc. În astfel de cazuri, este nevoie de a centra rezultatele obținute pentru a atribui valori netezite ale indicatorului unor perioade sau momente specifice. Calculul mediilor mobile centrate poate fi efectuat în două etape:
- determinarea sumelor mobile și a mediilor mobile necentrate pe un număr par de niveluri ale seriei de dinamică;
- calcularea mediilor mobile centrate din două medii mobile necentrate adiacente calculate anterior și atribuirea acestora perioadelor sau momentelor de timp corespunzătoare.
Metoda de calcul a mediilor mobile centrate este prezentată mai jos (Tabelul 9.16).
9.3.3. Netezirea (nivelarea) analitică a seriilor de timp
Alinierea analitică a seriilor de timp este găsirea unui model specific (ecuația de tendință) care descrie matematic tendința de dezvoltare a unui fenomen în timp. În acest caz, nivelurile indicatorului sunt considerate numai în funcție de timp. Spre deosebire de metodele discutate mai sus, cum ar fi intervalele de mărire, mediile mobile, care au ca scop în principal să răspundă la întrebarea: există sau nu o tendință într-o serie temporală și determinarea direcției acesteia, alinierea analitică vă permite să determinați mai precis natura dezvoltării fenomenului și, cel mai important, să-l descriem matematic, să înțelegem toate nuanțele și direcțiile de dezvoltare și, ceea ce este poate cel mai interesant, să folosiți modelul rezultat pentru prognoză în viitor.
Primul pas în realizarea alinierii analitice este selectarea tipului de funcție matematică care se presupune a fi utilizată ca model de tendință. În acest caz, puteți fi ghidat de forma curbei obținute pe baza afișării datelor empirice pe un grafic. Schema de construcție a graficului este destul de simplă: perioadele de timp (date) sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar valorile nivelurilor seriei de timp sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor.
Când se analizează serii de timp, următoarele funcții sunt cel mai adesea utilizate ca linie de tendință:
În plus, capacitățile software-ului modern (de exemplu, sistemul STATISTICA) fac posibilă utilizarea unei funcții matematice de orice tip arbitrar (definit de utilizator) ca model de tendință.
Alinierea folosind o funcție liniară (linie dreaptă). Alegerea în favoarea alinierii printr-o funcție liniară se face fie pe baza rezultatelor unei analize grafice a datelor empirice, fie dacă nivelurile seriei se modifică într-o progresie aritmetică (în acest caz, creșterile absolute ale lanțului calculate sunt aproximativ la fel).
La alinierea printr-o funcție liniară (linie dreaptă), se folosește o ecuație a formei
y t = a 0 + a 1 t,
unde t este un indicator condiționat al timpului.
Parametrii ecuației sunt determinați pe baza metodei celor mai mici pătrate prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare normale
Ca exemplu, luați în considerare seria temporală prezentată în tabel. 9.17.
| An | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pentru 2001-2006 | 70 | 92 | 112 | 135 | 159 | 185 |
| Venituri ale băncilor din operațiuni cu valori mobiliare, milioane de ruble. | - | 22 | 20 | 23 | 24 | 26 |
Creșterea absolută a lanțului
Deci, creșterile absolute în lanț pe care le-am calculat sunt relativ constante, deci putem vorbi despre oportunitatea alegerii unei ecuații drepte ca funcție analitică.
La găsirea parametrilor ecuației, este convenabil să se desemneze indicatorul de timp astfel încât să se respecte următoarea egalitate: . Pentru a face acest lucru, dacă există un număr impar de niveluri în serie, momentului (perioada) de timp situat în centrul seriei i se atribuie valoarea t = 0, celor anterioare li se atribuie valorile -1, -2, -3 etc. , iar cele ulterioare - valorile 1, 2, 3 etc. (adică în trepte de 1 de la mijlocul rândului către o parte sau cealaltă din centru).
Să presupunem că luăm în considerare o serie temporală cu cinci niveluri (pentru perioada 2002-2006), apoi vom desemna indicatorul de timp condiționat așa cum este prezentat în tabel. 9.18.
Cu un număr par de niveluri, există două momente (perioade) de timp în mijlocul rândului. Unui dintre ele i se atribuie valoarea t = -1, iar celuilalt t = +1. Apoi timpii anterioare obțin valori -3, -5 etc., iar valorile ulterioare obțin +3, +5 etc. (adică cu un pas de 2 într-o direcție sau alta din centru).
Cu această metodă de notare a timpului, sistemul de ecuații este simplificat
Atunci coeficienții ecuației a 0 și a 1 se găsesc după cum urmează:
| An | Tabelul 9.19. | Tabel de calcul pentru determinarea parametrilor ecuației unei linii drepte | t 2 | yt | Valori aliniate, y t |
|---|---|---|---|---|---|
| 2001 | 70 | -5 | 25 | -350 | 68,43 |
| 2002 | 92 | -3 | 9 | -276 | 91,258 |
| 2003 | 112 | -1 | 1 | -112 | 114,086 |
| 2004 | 135 | 1 | 1 | 135 | 136,914 |
| 2005 | 159 | 3 | 9 | 477 | 159,742 |
| 2006 | 185 | 5 | 25 | 925 | 182,57 |
| Sumă | 753 | 0 | 70 | 799 | 753 |
Ecuația necesară a dreptei are forma: y t = 125,5 + 11,414t.
Înlocuind valoarea t corespunzătoare în ecuația rezultată, calculăm valorile teoretice egalizate ale indicatorului (a se vedea ultima coloană a tabelului 9.11). În acest caz, suma valorilor egalizate trebuie să fie egală cu suma valorilor empirice (753, dacă nu este cazul, atunci parametrii ecuației sunt determinați incorect).
Un grafic construit folosind valorile indicatorului egalizate va reflecta tendința de dezvoltare a fenomenului în timp (Fig. 9.1).
Orez. 9.1.
Pe baza ecuației de tendință obținută, este posibil să se construiască valori de prognoză ale indicatorului pentru diferite perioade de timp prin înlocuirea valorilor componentei de timp în ecuația rezultată. De exemplu, pentru 2007 obținem următoarele venituri așteptate:
y i = 125,5 + 11,414t = 125,5 + 11,414 * 7 = 205,398 (milioane de ruble).
Alinierea parabolica de ordinul doi. Cu o schimbare accelerată sau lentă a nivelurilor unei serii dinamice, atunci când diferențele de a doua calculate de niveluri (creșteri absolute în lanț în creșteri absolute în lanț) sunt constante, o parabolă de ordinul doi este utilizată pentru alinierea analitică:
y i = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 .
Parametrii ecuației se găsesc folosind metoda celor mai mici pătrate, iar desemnarea indicatorului de timp condiționat t este absolut similară cu desemnarea timpului la construirea unei linii drepte.
Sistemul de ecuații normale pentru găsirea parametrilor ecuației parabolei are forma:
Dacă acceptăm notația timpului la care egalitatea este satisfăcută, sistemul de ecuații luat în considerare poate fi simplificat. Acesta va lua următoarea formă:
Să realizăm o aliniere analitică a datelor care caracterizează dinamica investițiilor pentru perioada 2001-2006. (Tabelul 9.20).
| Dinamica investiţiilor pentru 2001-2006. | Indicator | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | |
| An | 98 | 100 | 130 | 193 | 280 | 391 |
| Investiții, milioane de ruble, y i | - | 2 | 30 | 63 | 87 | 111 |
| Primele diferențe (incremente absolute în lanț) | - | - | 28 | 33 | 24 | 24 |
A doua diferență Diferențele secunde calculate demonstrează o constanță relativă, așa că luăm ecuația parabolei de ordinul doi ca funcție analitică pentru egalizare. Alegerea noastră este confirmată de analiza grafica
date (Fig. 9.2).
Orez. 9.2.
| An | Tabelul 9.21. Tabel de calcul pentru determinarea parametrilor ecuației parabolei de ordinul doi Investiție în | t 2 | capitaluri autorizate | , milioane de ruble, y | t 4 | y-t | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1999 | 98 | -5 | 25 | 625 | -490 | 2 450 | 97 |
| 2000 | 100 | -3 | 9 | 81 | -300 | 900 | 101 |
| 2001 | 130 | -1 | 1 | 1 | -130 | 130 | 132 |
| 2002 | 193 | 1 | 1 | 1 | 193 | 193 | 191 |
| 2003 | 280 | 3 | 9 | 81 | 840 | 2 520 | 278 |
| 2004 | 391 | 5 | 25 | 625 | 1 955 | 9 775 | 392 |
| Sumă | 1 192 | 0 | 70 | 1 414 | 2 068 | 15 968 | 1 192 |
y-t 2
Valori aliniate, y i
Să construim și să rezolvăm un sistem de ecuații (Tabelul 9.15):
Alinierea prin funcție exponențială. Dacă nivelurile seriei se modifică exponențial etc. coeficienții de creștere a lanțului calculați sunt relativ constanți, apoi pentru nivelare folosesc o funcție exponențială de forma
Parametrii ecuației exponențiale sunt determinați prin rezolvarea următorului sistem de ecuații normale:
Dacă acceptăm notația timpului t, la care condiția este îndeplinită, sistemul este mult mai simplu:
Să realizăm o aliniere analitică a datelor care caracterizează schimbarea numărului de companii de asigurări din regiune pentru perioada 2000-2006. (Tabelul 9.22).
| An | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dinamica numărului de companii de asigurări din regiune pentru perioada 2000-2006. | 215 | 220 | 223 | 229 | 235 | 241 | 248 |
| Numărul companiilor de asigurări, y i | - | 1,023 | 1,014 | 1,027 | 1,026 | 1,026 | 1,029 |
Factori de creștere în lanț
Coeficienții de creștere a lanțului relativ constanti fac posibilă alegerea unei funcții exponențiale ca expresie analitică a tendinței.
| An | Tabelul 9.23. | Tabel de calcul pentru determinarea parametrilor funcției exponențiale | Numărul companiilor de asigurări, y | Simbolul timpului, t | t 2 | lgy |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2000 | 215 | -3 | 9 | 2,332438 | -6,99732 | 210 |
| 2001 | 220 | -2 | 4 | 2,342423 | -4,68485 | 217 |
| 2002 | 223 | -1 | 1 | 2,348305 | -2,3483 | 223 |
| 2003 | 229 | 0 | 0 | 2,359835 | 0 | 230 |
| 2004 | 241 | 1 | 1 | 2,371068 | 2,371068 | 237 |
| 2005 | 241 | 2 | 4 | 2,382017 | 4,764034 | 244 |
| 2006 | 248 | 3 | 9 | 2,394452 | 7,183355 | 251 |
| Sumă | 1 611 | 0 | 28 | 16,53054 | 0,287991 | 1 611 |
t-lgy
Valori aliniate, y t
Să compunem și să rezolvăm un sistem de ecuații normale: Prin urmare, momentele (perioadele) de timp sunt pur și simplu numerotate etc. indicatorului de timp condiționat i se atribuie valori (1, 2, 3 etc.) începând de la primul nivel al seriei.2 Înlocuind valorile indicatorului de timp condiționat t în ecuația rezultată, calculăm valorile egalizate ale lui y i și le plasăm în tabelul de calcul. După cum putem vedea, valorile aliniate sunt destul de apropiate de datele empirice, ceea ce ne permite să sperăm la obținerea de prognoze fiabile pe baza modelului construit. Când se efectuează alinierea analitică, este adesea dificil de determinat în prealabil
aspect potrivit
ecuații de tendință, mai ales dacă datele empirice nu demonstrează în mod clar relevanța pentru orice funcție analitică. Apoi procedați după cum urmează: construiți mai multe ecuații de tendință. Apoi, pentru fiecare dintre ele, se calculează varianța reziduală și modelul cu cea mai mică varianță reziduală este recunoscut ca fiind cel mai bun disponibil în prezent.
Varianța reziduală este calculată folosind formula
Pe baza timpului reflectat în seriile de dinamică, se disting serii cronologice de moment și interval.
Într-o serie de momente de dinamică, indicatorii statistici caracterizează starea unui fenomen la un anumit moment în timp. Pentru o serie de momente de dinamică, este caracteristic ca fiecare ulterioară, prin urmare suma indicatorilor unei astfel de serii nu are sens economic.
O serie de intervale de dinamică constă din indicatori care caracterizează dimensiunea unui fenomen pe o anumită perioadă de timp. Indicatorii unei astfel de serii pot fi rezumați, rezultând rând nou dinamică, fiecare indicator al căruia caracterizează dimensiunea fenomenului pe o perioadă mai lungă de timp.
După modul în care sunt exprimate seriile de dinamică, acestea pot fi serii de valori absolute, relative și medii.
Pentru a caracteriza intensitatea modificărilor fenomenelor sociale de-a lungul timpului, se calculează următorii indicatori: creștere absolută, rata de creștere, rata de creștere, valoarea absolută a creșterii de 1%, coeficient de avans.
În funcție de baza de comparație, acestea pot fi de bază (unul, nivelul constant este luat ca bază de comparație) și în lanț (nivelul anterior este luat ca bază de comparație).
Creșterea absolută în y este diferența dintre nivelurile seriei, care este exprimată în unități de măsură ale indicatorilor seriei dinamice:
y basic = yi - yo;
lanțul y = yi - yi-1,
unde уi sunt nivelurile seriei de dinamică;
uo - nivel de bază;
ush-1 - nivelul anterior.
Ratele de creștere Tr - raportul dintre un nivel și altul, luat ca bază de comparație, sunt exprimate ca coeficienți sau procente:
Tr de bază = ;
Tr lanț = .
Rata de creștere Tpr - raportul dintre creșterea absolută și nivelul luat ca bază de comparație, exprimat în coeficienți sau procente:
T pr de bază = ;
T pr lanț =
Valoarea absolută a creșterii de 1% A arată ce valoare absolută este conținută în 1% și este definită ca raportul dintre creșterea absolută a lanțului și ritm de lanț creștere exprimată în procente:
Aceste. valoarea absolută a unei creșteri de 1% poate fi definită și ca fiind 0,01 din nivelul anterior.
Pentru a generaliza dinamica fenomenelor sociale se determină nivelul mediu al unei serii de dinamici, creșterea medie absolută, rata medie de creștere și rata medie de creștere.
Nivelul mediu al unei serii de dinamică se numește cronologic mediu, ceea ce oferă o caracteristică generală a dezvoltării fenomenelor în timp.
În seria dinamică a intervalului, nivelul mediu y este determinat de formula:
unde n este numărul de niveluri ale seriei;
y - niveluri.
În seria momentului de dinamică:
1) cu intervale egale între momente în timp, nivelul mediu este determinat de formula:
unde n este numărul de niveluri;
2) cu intervale inegale între momente în timp, nivelul mediu este determinat de formula:
unde ti este valoarea intervalelor dintre punctele de timp.
Creșterea medie absolută este determinată de valorile individuale ale creșterilor absolute în lanț:
Rata medie de creștere este determinată de formula mediei geometrice:
unde Ti este rata de creștere;
m este numărul ratelor de creștere.
Dacă nivelurile seriei dinamice sunt cunoscute, atunci rata medie de creștere poate fi determinată ca
unde уо, уn sunt nivelul primei și ultimei perioade (moment) de timp din seria dinamică.
Rata medie de creștere se determină pe baza ratei medii de creștere:
Tpr = Tr - 1 (100%).
Una dintre sarcinile rezolvate la analiza dinamicii este stabilirea unui pattern (tendință) de dezvoltare a unui fenomen în timp.
În acest scop se folosesc metodele de mărire a intervalelor, medii mobile și nivelare analitică.
Metoda de mărire a intervalelor constă în faptul că seria dinamică originală este transformată și înlocuită cu alta, în care indicatorii se referă la perioade mai lungi de timp. Această metodă este utilizată numai pentru serii de timp cu intervale.
Metoda mediei mobile constă în formarea de intervale lărgite formate din același număr de niveluri. În acest caz, obținem fiecare interval ulterior deplasând treptat de la intervalul inițial al seriei de dinamică cu un interval; folosind intervale lărgite se determină media nivelurilor incluse în fiecare interval Când se utilizează metoda de nivelare analitică pentru a identifica tendinţa de dezvoltare a unui fenomen în timp, nivelurile efective sunt înlocuite cu cele teoretice, calculate pe baza ecuația unei curbe sau a unei linii drepte care reflectă tendința generală.
Dacă seria este aliniată cu ecuația unei linii drepte, atunci tendința generală va fi exprimată prin ecuația:
unde a și b sunt parametrii ecuației;
yt - nivelurile teoretice ale seriei de dinamică;
t - perioade sau momente în timp.
Pentru a calcula yt pentru t cunoscut, este necesar să se determine mai întâi parametrii ecuației. Pentru a face acest lucru, se utilizează metoda celor mai mici pătrate, care oferă un sistem de ecuații liniare:
unde y sunt nivelurile reale ale seriei de dinamică;
n este numărul acestor niveluri.
Acest sistem de ecuații poate fi simplificat dacă numerotăm perioadele de timp t în așa fel încât suma lor să fie egală cu 0 (t = 0). Pentru a face acest lucru, într-o serie de dinamică cu un număr par de niveluri, numerotarea trebuie să înceapă de la mijlocul seriei cu numerele -1, +1; într-o serie de dinamică cu un număr impar de nivele, numerotarea trebuie să înceapă de la mijlocul seriei de la 0, apoi