Kako izračunati prosječan nivo primjera dinamičke serije. Indikatori serija dinamike: njihov proračun i predviđanje. Metoda analitičkog poravnanja
16. Pokazatelji vremenskih serija, njihovo izračunavanje i praktična primjena.
Vremenske serije- niz homogenih uporedivih veličina koje pokazuju promjene u fenomenu koji se proučava tokom vremena. Ovo je statistički oblik prikaza razvoja pojava tokom vremena. Brojevi koji čine dinamičku seriju obično se nazivaju nivoima serije. Nivoi serije mogu biti predstavljeni apsolutnim brojevima, relativnim i prosječnim vrijednostima .
Razlikuju se sljedeće vrste vremenskih serija.
Jednostavno- niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti koje karakteriziraju
dinamiku jednog fenomena.
Jednostavni nizovi su polazna tačka za konstruisanje izvedenih nizova.
Derivat- niz koji se sastoji od prosječnih ili relativnih vrijednosti.
Intervalne serije sastoji se od sekvencijalnog niza brojeva koji karakteriziraju promjenu u nekoj pojavi za određeni period (u vremenu).
Trenutak serije sastoji se od veličina koje određuju veličinu pojave ne za bilo koji vremenski period, već za određeni datum - trenutak.
Za dublje razumijevanje suštine razvoja društvenih pojava, izračunavaju se dinamički serijski indikatori kao što su apsolutni rast, stopa rasta, stopa rasta, apsolutna vrijednost rasta od 1%.
Apsolutno povećanje nazovite razliku između svakog sljedećeg i prethodnog nivoa. Apsolutni rast može biti pozitivan ili negativan.
Stopa rasta je odnos svakog narednog nivoa prema prethodnom, izražen u procentima.
Stopa rasta je odnos apsolutnog rasta u odnosu na prethodni nivo, uzet kao 100%.
Kako svaki relativni indikator odgovara određenim apsolutnim vrijednostima, pri proučavanju stopa rasta potrebno je uzeti u obzir koja apsolutna vrijednost odgovara svakom procentu rasta i kakav je njegov sadržaj. U tu svrhu izračunava se sljedeći pokazatelj: apsolutnu vrijednost od jedan posto rast. Definira se kao količnik apsolutnog rasta u određenom periodu podijeljen s procentualnim rastom u istom periodu.
Da bismo ilustrovali proračune razmatranih statističkih pokazatelja, predstavljamo niz dinamike.
Dajemo primjer. Potrebno je analizirati dinamiku nataliteta na određenom području (tabela 5).
Tabela 5 - Dinamika fertiliteta u regionu za 1996–2005.
|
Plodnost, % |
Apsolutno povećanje |
Stopa rasta, % |
Apsolutna vrijednost od 1% povećanja |
||
1. Odrediti apsolutno povećanje: 8,9 – 9,4 = – 0,5; 9,2 – 8,9 = 0,3, itd.
Računamo stopu rasta: – 0,5×100/9,4 = – 5,3, itd.
3. Pronađite stopu rasta: 8,9 × 100/9,4 = 94,7, itd.
4. Dobijamo apsolutnu vrijednost povećanja od 1%: – 0,5/ – 5,3 = 0,09
Dinamički niz se ne sastoji uvijek od nivoa koji se dosljedno mijenjaju u smjeru smanjenja ili povećanja. Često nivoi vremenskih serija oštro fluktuiraju, a to nam ne dozvoljava da identifikujemo glavni trend koji je svojstven fenomenu koji se proučava u određenom vremenskom periodu. U takvim slučajevima, vremenska serija je usklađena. Postoji nekoliko načina za poravnavanje vremenske serije: povećanje intervala, izglađivanje izračunavanjem pokretnog prosjeka, analitičko poravnanje duž prave linije, itd.
Uzmite u obzir pravolinijsko poravnanje, koje se radi na sljedeći način:
Y t (teoretski nivoi) = a o + a 1 t, gdje je t simbol vremena, a o i a 1 su parametri željene linije, koji se nalaze iz rješavanja sistema jednačina:
na 0 + a 1 Σt = Σy;
a 0 Σt + a 1 Σt 2 = Σyt; gdje je y - stvarni nivoi; n je broj dinamičkih redova. Sistem jednačina se pojednostavljuje ako se t odabere tako da njihov zbir bude jednak 0, tj. pomeriti početak odbrojavanja vremena na sredinu perioda koji se razmatra. onda:
a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 .
Zamjenom dobijenih vrijednosti a 0 i a 1 u formulu, izračunavaju se sve vrijednosti teoretskog nivoa.
Razmotrite sljedeći primjer (tabela 6):
Tabela 6: Izjednačavanje fertiliteta za 2003–2008
|
Plodnost, (y) |
Uslovno vremenska oznaka, t |
Teoretski nivo nakon nivelacije |
Trogodišnji pokretni proseci |
|||
n = 6 Σy = 53,6 Σyt = – 30,6 Σ tt=70.
Ako je red paran, brojanje počinje od 1 (sredina reda), zatim sukcesivno neparni brojevi 3, 5, 7, itd. u oba smjera (gore sa –; dolje sa +); ako je red neparan, simbol vremena počinje od 0 (sredina reda), zatim od 1, 2, 3, itd. povratno putovanje.
Procedura obračuna je sljedeća:
Y t (teoretski nivoi) = a o + a 1 t;
a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 ;
a 0 = 8,9 a 1 = – 0,4;
8,9 + (– 0,4) × (– 5) = 11;
8,9 + (– 0,4) × (– 3) = 10,1; itd.
Postupak za izračunavanje pokretnog prosjeka:
Za 2004. (9,4 + 8,9 + 9,2) / 3 = 9,2.
Za 2005. (8,9 + 9,2 + 8,3) / 3 = 8,8, itd.
Interval se povećava zbrajanjem podataka za određeni broj susjednih perioda (tabela 7).
Tabela 7
|
Plodnost |
Za 2003–2005, stopa nataliteta je 9,4 + 8,9 + 9,2 = 27,5.
Za 2006–2008, stopa nataliteta je 8,3 + 9,4 + 8,4 = 26,1.
17. Veze među pojavama (funkcionalne, korelacijske). Vrste korelacija prema snazi i smjeru. Metoda serijske korelacije (Pearson), faze izračunavanja koeficijenta korelacije, procjena pouzdanosti
Sve pojave u prirodi i društvu su međusobno povezane. Prema prirodi zavisnosti fenomena, razlikuju se:
funkcionalan (pun);
korelacija (nepotpuna) veza.
Funkcionalna veza znači strogu zavisnost pojava, kada bilo koja vrijednost jednog od njih uvijek odgovara određenoj, istoj vrijednosti drugog.
Sa korelacionom vezom ista vrijednost jedne karakteristike odgovara različitim vrijednostima druge. Na primjer: postoji korelacija između visine i težine, između učestalosti malignih neoplazmi i starosti itd.
Pravac razlikuje direktnu i obrnutu korelaciju. U direktnom slučaju, povećanje jedne od karakteristika dovodi do povećanja druge; u suprotnom slučaju, kako se jedna karakteristika povećava, druga se smanjuje.
Jačina veze može biti jaka, srednja ili slaba. Na osnovu statističke analize moguće je utvrditi prisustvo veze, njen pravac i izmjeriti njenu snagu.
Jedan od načina za mjerenje odnosa između pojava je izračunavanje koeficijenta korelacije, koji se označava r xy. Najpreciznija je metoda kvadrata (Pearson), u kojoj se koeficijent korelacije određuje formulom: 
, Gdje
r xy je koeficijent korelacije između statističkih serija X i Y.
d x je odstupanje svakog od brojeva statističke serije X od njegove aritmetičke sredine.
d y je odstupanje svakog od brojeva statističkog niza Y od njegove aritmetičke sredine.
U zavisnosti od jačine veze i njenog smjera, koeficijent korelacije može se kretati od 0 do 1 (-1). Koeficijent korelacije 0 ukazuje na potpuni nedostatak veze. Što je nivo koeficijenta korelacije bliži 1 ili (-1), to je, shodno tome, veća i bliža direktna ili povratna informacija koju mjeri. Kada je koeficijent korelacije jednak 1 ili (-1), veza je potpuna i funkcionalna.
Šema za procjenu jačine korelacije pomoću koeficijenta korelacije
|
Snaga veze |
Vrijednost koeficijenta korelacije ako je dostupna |
|
|
direktna veza (+) | ||
|
Nema konekcije | ||
|
Veza je mala (slaba) |
od 0 do +0,29 |
od 0 do –0,29 |
|
Prosječna veza (umjerena) |
od +0,3 do +0,69 |
od –0,3 do –0,69 |
|
Veza je velika (snažna) |
od +0,7 do +0,99 |
od –0,7 do –0,99 |
|
Potpuna komunikacija (funkcionalno) | ||
Za izračunavanje koeficijenta korelacije metodom kvadrata sastavlja se tabela od 7 kolona. Pogledajmo proces izračuna koristeći primjer:
ODREDITE JAČINU I PRIRODU VEZE IZMEĐU
|
Vrijeme je- ness struma (V y ) |
d x = V x –M x |
d y = V y –M y |
d x d y |
d x 2 |
d y 2 |
|
|
Σ -1345 ,0 |
Σ 13996 ,0 |
Σ 313 , 47 |
1. Odrediti prosječan sadržaj joda u vodi (u mg/l).
mg/l
2. Odrediti prosječnu incidencu gušavosti u %.
3. Odrediti odstupanje svakog V x od M x, tj. dx.
201–138=63; 178–138=40, itd.
4. Na sličan način određujemo odstupanje svakog V y od M y, tj. d y.
0,2–3,8=-3,6; 0,6–38=-3,2, itd.
5. Odrediti proizvode odstupanja. Zbrojimo rezultirajući proizvod i dobijemo.
6. Kvadriramo d x i sumiramo rezultate, dobijamo.
7. Slično, kvadriramo d y, sumiramo rezultate, dobijamo
8. Na kraju sve primljene iznose zamjenjujemo u formulu:
Da bi se riješilo pitanje pouzdanosti koeficijenta korelacije, njegova prosječna greška se određuje pomoću formule:
(Ako je broj zapažanja manji od 30, tada je imenilac n–1).
U našem primjeru
Vrijednost koeficijenta korelacije smatra se pouzdanom ako je najmanje 3 puta veća od njene prosječne greške.
U našem primjeru 
Dakle, koeficijent korelacije nije pouzdan, što zahtijeva povećanje broja opservacija.
Koeficijent korelacije se može odrediti na nešto manje tačan, ali mnogo lakši način - metodom rangova (Spearman).
Ocjena povjerenja:
1. procjena pouzdanosti intenzivnog indikatora:
m = √P x q / n(koren svih)
gdje je p indikator izražen u %, ‰, %oo, itd. q = (100 - p), pri čemu je p izraženo u %; ili (1000 - p), sa p izraženim u ‰ ili (10000 - p), sa p izraženim u %oo, itd.
t=1, povjerenje 68,3%
2. Procjena pouzdanosti razlike između 2 intenzivna indikatora
M1 i M2 greške reprezentativnosti.
3. procjena pouzdanosti aritmetičke sredine
Gdje σ - standardna devijacija n - broj zapažanja
T=M/m, ako je t veći od 2, up. aritmetika je pouzdana.
4 .procjena pouzdanosti razlike 2 up. aritmetika
Naći prosječna vrijednost serije momenta sa jednakim nivoima koristite prosječne hronološke: .
Prosjek hronološki za različite nivoe serije trenutaka:
Svrha usluge. Koristeći ovo online kalkulator može se izračunati prosječna vrijednost serije momenta prema prosječnim hronološkim formulama.
Instrukcije. Odaberite količinu podataka i odredite da li se radi o danima, mjesecima ili godinama
Primjer br. 1. Stanovništvo grada je bilo:
- od 1. januara – 80.500 ljudi,
- od 1. februara – 80.540 ljudi,
- od 1. marta – 80.550 ljudi,
- od 1. aprila – 80.560 ljudi,
- od 1. jula – 80.620 ljudi,
- od 1. oktobra – 80.680 ljudi,
- od 1. januara naredne godine - 80.690 ljudi.
Rješenje.
Prikazani podaci su trenutna serija. Prosjek nalazimo koristeći formulu hronološkog prosjeka.
Prosječni hronološki za različite nivoe trenutne serije:
y av = (80500+80540)*1 + (80540+80550)*1 + (80550+80560)*1 + (80560+80620)*3 + (80620+80680)*3 + (80680)*30690 /(2*12) = 1934790/(2*12) = 80616,25 ≈ 80616 ljudi
Prosjek za prvi kvartal: 
Čovjek
Prosek za drugi kvartal: 
Čovjek
Prosjek za treći kvartal: 
Čovjek
Prosek za prvu polovinu godine:
Čovjek
Primjer br. 2. Prema Tabele 7(Dodatak 2) odaberite dinamičku seriju koja odgovara vašoj opciji, za koju:
1. Izračunajte:
a) prosječni godišnji nivo serije dinamike;
b) lančani i osnovni pokazatelji dinamike: apsolutni rast, stopa rasta, stopa rasta;
c) prosječan apsolutni rast, prosječna stopa rasta, prosječna stopa rasta.
Smjernice
Za karakterizaciju dinamike izračunava se sistem indikatora dinamike.
| Indikator dinamike | Proračunske formule | |
| na lančanoj osnovi | na osnovnoj osnovi | |
| Apsolutno povećanje (+), smanjenje (-) | Δ c =y i -y i-1 | Δ b =y i -y 1 |
| Stopa rasta | ||
| Stopa rasta |  |  |
| Stopa povećanja |  |  |
| Apsolutna vrijednost povećanja od jedan posto | A1%=0,01·y i-1 | - |
- prosječni nivoi redova;
- prosječni pokazatelji promjena nivoa serije.
Da biste pronašli prosječni nivo trenutne serije, koristite hronološki prosjek: .
Prosječno apsolutno povećanje izračunava se ovisno o početnim podacima na sljedeće načine:
ili
Prosječna stopa rasta(smanjenje):
ili, . Prosječna stopa rasta(smanjenje):
.
U sljedećem primjeru nalazimo prosječne veličine fond plate(za intervalne serije).
| Godina | Fond za obračun plaća, hiljada rubalja. |
| 1994 | 300 |
| 1995 | 349 |
| 1996 | 379 |
| 1997 | 450 |
| 1998 | 501 |
| 1999 | 581 |
| 2000 | 600 |
| 2001 | 648 |
| 2002 | 677 |
| 2003 | 748 |
| 2004 | 800 |
Prosječni nivo intervalne serije izračunava se pomoću formule:
Prosječna visina plate od 1994. do 2004. godine iznosila je 548,45 hiljada rubalja.
Prosječna stopa rasta
U prosjeku, za cijeli period od 1994. do 2004. godine, rast zarada iznosio je 1,1 (porast od 10% na godišnjem nivou).
Prosječna stopa rasta
Prosječno apsolutno povećanje
U prosjeku, tokom čitavog perioda, fond plata se povećao za 50 hiljada rubalja. iz godine u godinu.
U sljedećem primjeru naći ćemo prosječan broj proizvodnog osoblja (za sada serije).
Lančani indikatori serije dinamike.
| Period | broj PPP | Apsolutno povećanje | Stopa rasta, % | Stope rasta, % | Apsolutni sadržaj od 1% povećanja | Stopa povećanja, % |
| 1994 | 470 | 0 | 0 | 100 | 4.7 | 0 |
| 1995 | 500 | 30 | 6.38 | 106.38 | 4.7 | 6.38 |
| 1996 | 505 | 5 | 1 | 101 | 5 | 1.06 |
| 1997 | 533 | 28 | 5.54 | 105.54 | 5.05 | 5.96 |
| 1998 | 540 | 7 | 1.31 | 101.31 | 5.33 | 1.49 |
| 1999 | 589 | 49 | 9.07 | 109.07 | 5.4 | 10.43 |
| 2000 | 577 | -12 | -2.04 | 97.96 | 5.89 | -2.55 |
| 2001 | 594 | 17 | 2.95 | 102.95 | 5.77 | 3.62 |
| 2002 | 640 | 46 | 7.74 | 107.74 | 5.94 | 9.79 |
| 2003 | 628 | -12 | -1.88 | 98.13 | 6.4 | -2.55 |
| 2004 | 646 | 18 | 2.87 | 102.87 | 6.28 | 3.83 |
Da biste pronašli prosječan nivo trenutne serije, koristite hronološki prosjek:
Prosječan broj industrijskog osoblja preduzeća za analizirani period iznosio je 566,4 osobe.
Prilikom analize vremenske serije izračunavaju se sljedeći pokazatelji:
- prosječni nivo dinamičkih serija;
- apsolutni rast: lančani i osnovni, prosječni apsolutni rast;
- stope rasta: lančana i osnovna, prosječna stopa rasta;
- stope rasta: lančane i osnovne, prosječne stope rasta;
- apsolutna vrijednost povećanja od jedan posto.
Lančani i osnovni indikatori se izračunavaju da karakterišu promene u nivoima dinamičke serije i međusobno se razlikuju po osnovama poređenja: lančani indikatori se izračunavaju u odnosu na prethodni nivo (baza poređenja varijable), osnovni indikatori se računaju u odnosu na nivo uzet kao baza poređenja (baza konstantnog poređenja).
Prosječni pokazatelji predstavljaju generalizirane karakteristike niza dinamike. Uz njihovu pomoć uspoređuje se intenzitet razvoja neke pojave u odnosu na različite objekte, na primjer, zemlje, industrije, preduzeća itd., ili vremenske periode.
9.2.1. Prosječni nivo dinamike serije
Poziva se određena brojčana vrijednost statističkog indikatora koji se odnosi na trenutak ili vremenski period nivo dinamike reda i označava se sa y ja (gde i- indikator vremena).
Metoda za izračunavanje prosječnog nivoa zavisi od vrste vremenske serije, odnosno: da li je trenutna ili intervalna, sa jednakim ili nejednakim vremenskim intervalima između susjednih datuma.
Ako je dat intervalni niz dinamike apsolutnih ili prosječnih vrijednosti s jednakim vremenskim periodima, tada se za izračunavanje prosječnog nivoa koristi jednostavna formula aritmetičkog prosjeka:
gdje je y 1, y 2, y i, ..., y n - nivoi dinamičkog niza;
n je broj nivoa serije.
Primjer 9.2. Na osnovu podataka iz tabele utvrđujemo prosječnu mjesečnu veličinu naknada od osiguranja, koje plaća osiguravajuća kuća, po jednom oštećenom objektu za šest mjeseci:
Ako su vremenski intervali vremenskih serija intervala nejednaki, tada se vrijednost prosječnog nivoa nalazi pomoću ponderirane aritmetičke prosječne formule, u kojoj se dužina vremenskih perioda koji odgovara nivoima vremenske serije (t i) koristi kao ponderi
Primjer 9.3. Na osnovu podataka prikazanih u tabeli utvrdićemo prosječan mjesečni iznos naknade osiguranja koju osiguravajuće društvo plaća po oštećenom objektu:
U trenutnim serijama dinamike sa jednakim vremenskim intervalima između datuma, prosječni nivo serije se izračunava korištenjem formule za prosječni hronološki jednostavan
gdje su y n vrijednosti indikatora na kraju posmatranog perioda.
Primjer 9.4. Prema podacima o veličini ispod Novac na računu deponenta na početku svakog mjeseca utvrđujemo prosječnu veličinu depozita u prvom kvartalu 2006. godine:
Prosječni nivo trenutne serije dinamike jednak je:
Iako prvi kvartal uključuje tri mjeseca (januar, februar, mart), u obračunu se moraju koristiti četiri nivoa serije (uključujući podatke od 1. aprila). Ovo je lako dokazati. Zaista, ako izračunamo prosječne nivoe po mjesecima, dobijamo:
u januaru
u februaru
Izračunati proseci formiraju intervalnu seriju dinamike sa jednakim vremenskim intervalima, u kojima se prosečni nivo izračunava, kao što smo videli gore, koristeći jednostavnu formulu aritmetičkog proseka:
Slično, ako želite izračunati prosječan nivo trenutne serije dinamike sa jednakim intervalima između datuma za prvu polovinu godine, onda kao posljednji nivo u formuli za prosječno hronološko vrijeme zastoja treba uzeti podatke za 1. jul, a ako za godinu dana, podaci za 1. januar naredne godine.
U trenutnim serijama dinamike s nejednakim intervalima između datuma, hronološki ponderirana prosječna formula se koristi za određivanje prosječnog nivoa:
gdje je t i dužina vremenskog perioda između dva susjedna datuma.
Primjer 9.5. Koristeći podatke o zalihama robe na početku mjeseca, utvrđujemo prosječnu veličinu zaliha u 2006. godini.
| datum | 01.01.06 | 01.02.06 | 01.03.06 | 01.07.06 | 01.09.06 | 01.12.06 | 01.01.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Zalihe robe, hiljada rubalja. | 1 320 | 1 472 | 1 518 | 1 300 | 1 100 | 1 005 | 920 |
Prosječan nivo serije je:
Udaljenost između datuma
Ako je dostupno pune informacije o vrijednostima trenutnog statističkog pokazatelja za svaki datum, onda se prosječna vrijednost ovog indikatora za cijeli period izračunava pomoću ponderirane formule aritmetičkog prosjeka:
gdje je y i - vrijednosti indikatora
t i je dužina perioda tokom kojeg je ova vrijednost statističkog pokazatelja ostala nepromijenjena.
Ako primjer 9.4 dopunimo podacima o datumima promjena sredstava na računu deponenta u prvom kvartalu 2006. godine, dobijamo:
- stanje gotovine od 1. januara - 132.000 rubalja;
- Izdati januar - 19.711 rubalja;
- 28. januar deponovan - 35.000 rubalja;
- 20. februar deponovan - 2000 rubalja;
- 24. februar deponovan - 2581 rublja;
- Izdato 3. marta - 3370 rubalja. (u martu nije bilo drugih promjena).
Dakle, od 1. januara do 4. januara (četiri dana) vrijednost indikatora je ostala jednaka 132.000 rubalja, od 5. januara do 27. januara (23 dana) njegova vrijednost je bila 112.289 rubalja, od 28. januara do 19. februara (23 dana) - 147.289 rubalja, od 20. do 23. februara (četiri dana) - 149.289 rubalja, od 24. februara do 2. marta (sedam dana) - 151.870 rubalja, od 3. do 31. marta (29 dana) - 148.500 rubalja. Radi lakšeg izračunavanja, ove podatke predstavljamo u tabeli:
| Dužina perioda, dani | 4 | 23 | 23 | 4 | 7 | 29 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Stanje gotovine, rub. | 132 00 | 112 289 | 147 289 | 149 289 | 151 879 | 148 500 |
Koristeći formulu ponderisane aritmetičke sredine, nalazimo vrijednost prosječnog nivoa serije
Kao što vidite, prosječna vrijednost se razlikuje od one dobijene u primjeru 9.4, tačnija je jer su u proračunima korištene tačnije informacije. U primjeru 9.4 poznati su samo podaci na početku svakog mjeseca, ali nije precizirano kada je tačno došlo do promjene indikatora, već je primijenjena hronološka prosječna formula.
Zaključno, napominjemo da izračunavanje prosječnog nivoa serije gubi analitičko značenje u slučajevima velike varijabilnosti indikatora unutar serije, kao iu slučajevima nagle promjene smjera razvoja fenomena.
9.2.2. Indikatori apsolutnih promjena nivoa vremenskih serija
Apsolutna povećanja se računaju kao razlika između dvije vrijednosti susjednih nivoa dinamičkog niza (lanac povećanja) ili kao razlika između vrijednosti trenutnog nivoa i nivoa uzetog kao osnova poređenja (osnovna povećanja). Indikatori apsolutnog rasta imaju iste mjerne jedinice kao i nivoi vremenske serije. Oni pokazuju koliko se jedinica indikator promijenio tokom prijelaza iz jednog trenutka ili vremenskog perioda u drugi.
Osnovna apsolutna povećanja izračunavaju se pomoću formule
gdje y i - i-ta struja nivo reda,
y 1 - prvi nivo serije dinamike, uzet kao osnova za poređenje.
Formula za određivanje apsolutnih povećanja lanca ima oblik
gdje je i - 1 nivo koji prethodi i-tom nivou dinamičke serije.
Prosječni apsolutni rast pokazuje koliko jedinica u prosjeku mjesečno, tromjesečno, godišnje itd. vrijednost indikatora se promijenila tokom posmatranog perioda. U zavisnosti od toga kojim podacima raspolažemo, oni se mogu izračunati na sledeće načine:
Primjer 9.6. Koristeći tabelarne podatke utvrdićemo pokazatelje apsolutnih povećanja iznosa obeštećenja iz osiguranja koje isplaćuje osiguravajuće društvo.
* Zbir svih izračunatih apsolutnih povećanja lanca daje osnovni apsolutni porast posljednjeg perioda.
Prosječni mjesečni apsolutni porast za polugodište je jednak
Tako je u prosjeku mjesečni iznos isplata osiguranja porastao za 1,2 hiljade rubalja.
9.2.3. Indikatori relativnih promjena nivoa vremenskih serija
Karakteristike relativne promjene nivoa niza dinamike su koeficijenti i stope rasta vrijednosti indikatora i stopa njihovog rasta.
Koeficijent rasta je omjer dva nivoa vremenske serije, izražen kao jednostavan višestruki omjer. Pokazuje koliko se puta vrijednost indikatora promijenila u jednom periodu (trenutku) u odnosu na drugi. Stopa rasta je stopa rasta izražena u postocima. Pokazuje koliki je procenat vrijednosti indikatora u datom periodu, ako se nivo sa kojim se vrši poređenje uzme za 100%.
Baš kao i apsolutna povećanja, koeficijenti i stope rasta mogu biti lančani i osnovni.
Koeficijent lanca i stopa rasta mjere relativnu promjenu trenutnog nivoa indikatora u odnosu na prethodni nivo:
faktor rasta:
Stopa rasta:
Osnovni koeficijent i stopa rasta karakterišu relativnu promjenu trenutnog nivoa indikatora u odnosu na osnovni (najčešće prvi) nivo:
Stopa rasta
Stopa rasta
Lanac i osnovni koeficijenti rasta imaju sljedeću međusobnu vezu:
Prosječna stopa rasta i koeficijent rasta u vremenskim serijama sa jednako raspoređenim nivoima izračunavaju se korištenjem jednostavne geometrijske srednje formule
Faktori rasta lanca;
- lančane stope rasta.
Ove formule se mogu svesti na sljedeći oblik:
Da bi se utvrdilo za koji procenat je trenutni nivo indikatora veći ili manji od vrednosti prethodnog ili osnovnog nivoa, izračunava se stopa rasta. Oni se izračunavaju oduzimanjem 100% od odgovarajućih stopa rasta:
Prosječna stopa rasta izračunava se na sličan način: 100% se oduzima od prosječne stope rasta:
Primjer 9.7. U tabeli su prikazani izračunati koeficijenti rasta, stope rasta i priraštaji indikatora koji karakterišu prosječni mjesečni iznos isplaćene naknade osiguranja od strane društva za period od januara do juna.
Sveobuhvatna analiza vremenskih serija, po pravilu, ne uključuje samo izračunavanje karakteristika intenziteta promena nivoa serije tokom prelaska iz jednog trenutka ili vremenskog perioda u drugi (apsolutni porasti, koeficijenti i stope rast i dobitak), ali i pronalaženje generalizovanih prosječnih karakteristika (prosječni nivo serije, prosječne stope rasta i dobitaka), ali i utvrđivanje osnovnih obrazaca u razvoju vremenske serije. Utvrđivanje trenda razvoja, izgradnja modela koji opisuje promjenu neke pojave tokom vremena, predviđanje pojave – sve su to najvažniji zadaci pri proučavanju vremenskih serija ekonomskih i društvenih pokazatelja.
Na formiranje nivoa vremenskih serija utiče mnogo različitih faktora, koji se, na osnovu prirode njihovog uticaja, mogu kombinovati u tri grupe:
- dugotrajno djelovanje i određivanje glavnog trenda razvoja fenomena;
- rade periodično - sezonske i ciklične fluktuacije;
- uzrokujući nasumične fluktuacije u nivoima vremenske serije.
U skladu s tim, za analizu obrasca promjena nivoa niza dinamike tokom vremena, koristi se sljedeći model:
gdje je T t glavna tendencija serije (trend);
S t - ciklične (posebno sezonske) fluktuacije;
e t - slučajne fluktuacije.
U aditivnom modelu niz dinamike je predstavljen kao zbir navedenih komponenti, u multiplikativnom modelu - kao njihov proizvod [ 
]. U nastavku ćemo polaziti od pretpostavke multiplikativnog oblika povezanosti komponenti dinamičkog niza.
Trend razvoja ili trend je formirani pravac razvoja neke pojave tokom vremena pod uticajem faktora koji stalno deluju. Moguće je suditi o prisutnosti trenda u vremenskoj seriji na osnovu njegove vizuelne analize samo kada je jasno vidljivo da se pri kretanju iz jedne vremenske tačke u drugu nivoi serije povećavaju ili smanjuju. Međutim, po pravilu je nemoguće odmah reći da li postoji ili ne trend promjene nivoa vremenske serije. Za to se koriste posebne metode.
Metode za identifikaciju glavnog trenda u razvoju vremenske serije (T t) uključuju:
- metoda povećanja intervala;
- metoda pokretnog prosjeka;
- analitičko usklađivanje vremenskih serija.
Pogledajmo ih pobliže.
9.3.1. Metoda intervalnog uvećanja
Aplikacija metoda povećanja intervala Razmotrimo na osnovu podataka u tabeli. 9.13.
| Mjesec | Isporuka robe, miliona rubalja. |
|---|---|
| Januar | 80 |
| februar | 78 |
| mart | 75 |
| april | 80 |
| maja | 82 |
| juna | 85 |
| jula | 87 |
| avgust | 82 |
| septembra | 85 |
| oktobar | 84 |
| novembar | 86 |
| decembar | 88 |
Kao što vidimo, vizuelna analiza podataka nam ne dozvoljava da izvučemo bilo kakve zaključke o prisustvu trenda u ovoj dinamičkoj seriji: u određenim mesecima, na primer, u februaru, martu, avgustu, oktobru i decembru, zalihe robe smanjen u odnosu na prethodne mjesece, au ostalim periodima - povećan.
Primijenimo metodu uvećanja intervala na početne podatke, formirajući novu vremensku seriju sa većim vremenskim periodima – kvartalima, i izračunajmo prosječni mjesečni obim isporuka u svakom kvartalu (tabela 9.14).
Dakle, na osnovu novih, većih intervala, već je jasno vidljivo da vrijednosti ispitivane karakteristike u vremenskom aspektu imaju tendenciju rasta.
Primjena razmatrane metode uglavnom je ograničena na one situacije u kojima se izvorni podaci odnose na dane, sedmice ili mjesece u godini, jer su vrijednosti proučavane karakteristike u manjim vremenskim intervalima podložnije nasumičnim fluktuacijama. Ako su vremenski intervali godine, onda povećanje intervala postaje neefikasno.
9.3.2. Metoda pokretnog prosjeka
Sljedeći način da se identifikuju trendovi u vremenskoj seriji zasniva se na proračunu i analizi takozvanih pokretnih prosjeka.
Pokretni (pokretni) proseci su aritmetičke sredine indikatora, izračunate korišćenjem novih m-term uvećanih intervala. Pravila za konstruisanje ovih intervala su sljedeća. Prvi od intervala uključuje prvih m nivoa dinamičkog niza, drugi interval se formira isključivanjem prvog člana uvećanog intervala i zamjenom sa sljedećim elementom dinamičke serije, numeriranim (m + 1), itd. - sve dok zadnji nivo serije nije uključen u interval. Na osnovu na sličan način izračunatih pokretnih proseka, izvodi se zaključak o postojanju trenda u vremenskoj seriji.
Ako se kao uvećani interval koristi period od tri mjeseca, tada se prvi pokretni tromesečni prosjek računa kao aritmetička sredina iz podataka za januar, februar i mart, drugi - kao aritmetička sredina iz podataka za februar, mart, april itd. Vrijednosti pokretnih prosjeka odnose se na određeni vremenski period koji odgovara sredini uvećanog intervala.
Hajde da izgladimo niz koristeći metodu pokretnog prosjeka za tri člana (Tabela 9.15).
U našem primeru, prvi pokretni prosek je za februar, drugi za mart, itd.
U slučajevima kada se izglađivanje vrši na parnom broju nivoa dinamičke serije, sredina vremenskog intervala glađenja će biti između dva momenta (perioda) vremena. Na primjer, ako se izravnavanje vrši pomoću četiri termina, sredina prvog intervala će biti između februara i marta, drugog intervala između marta i aprila itd. U takvim slučajevima postoji potreba da se dobijeni rezultati centriraju kako bi se izglađene vrednosti indikatora dodelile određenim periodima ili vremenskim tačkama. Izračun centriranih pokretnih prosjeka može se izvesti u dvije faze:
- određivanje pokretnih suma i necentriranih pokretnih proseka na parnom broju nivoa dinamičke serije;
- izračunavanje centriranih pokretnih proseka iz dva susedna prethodno izračunata necentrirana pokretna proseka i njihovo dodeljivanje odgovarajućim periodima ili tačkama u vremenu.
Metoda za izračunavanje centriranih pokretnih proseka prikazana je u nastavku (Tabela 9.16).
9.3.3. Analitičko izravnavanje (niveliranje) vremenskih serija
Analitičko usklađivanje vremenskih serija je pronalaženje specifičnog modela (jednačina trenda) koji matematički opisuje trend razvoja neke pojave tokom vremena. U ovom slučaju, nivoi indikatora se smatraju samo funkcijom vremena. Za razliku od gore navedenih metoda, kao što su povećanje intervala, pokretni prosjeci, koji uglavnom imaju za cilj da odgovore na pitanje: postoji li trend u vremenskoj seriji ili ne, i određivanje njegovog smjera, analitičko usklađivanje omogućava vam da preciznije odredite prirodu razvoj fenomena, i što je najvažnije – matematički ga opisati, shvatiti sve nijanse i pravce razvoja i, što je možda najzanimljivije, koristiti dobijeni model za predviđanje budućnosti.
Prvi korak u provođenju analitičkog usklađivanja je odabir vrste matematičke funkcije koja bi se trebala koristiti kao model trenda. U tom slučaju možete se voditi oblikom krive dobivene na osnovu prikaza empirijskih podataka na grafikonu. Shema za konstruiranje grafa je prilično jednostavna: vremenski periodi (datumi) su iscrtani duž apscisne ose, a vrijednosti nivoa dinamičkog niza su iscrtane duž ordinatne ose.
Prilikom analize vremenskih serija kao linija trenda najčešće se koriste sljedeće funkcije:
Osim toga, mogućnosti modernog softvera (na primjer, sistem STATISTICA) omogućavaju korištenje matematičke funkcije bilo kojeg (korisnički definiranog) proizvoljnog tipa kao modela trenda.
Poravnanje pomoću linearne funkcije (prava linija). Izbor u korist poravnanja linearnom funkcijom vrši se ili na osnovu rezultata grafičke analize empirijskih podataka, ili ako se nivoi serije mijenjaju u aritmetičkoj progresiji (u ovom slučaju, izračunati apsolutni porast nivoa u lancu su približno isto).
Prilikom poravnanja linearnom funkcijom (prava linija) koristi se jednadžba oblika
y t = a 0 + a 1 t,
gdje je t uslovni indikator vremena.
Parametri jednadžbe se određuju na osnovu metode najmanjih kvadrata rješavanjem sistema normalnih linearnih jednadžbi
Kao primjer, razmotrite vremenske serije prikazane u tabeli. 9.17.
| Godina | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prihodi banaka od poslovanja sa hartijama od vrednosti, miliona rubalja. | 70 | 92 | 112 | 135 | 159 | 185 |
| Apsolutno povećanje lanca | - | 22 | 20 | 23 | 24 | 26 |
Dakle, lančani apsolutni porasti koje smo izračunali su relativno konstantni, tako da možemo govoriti o preporučljivosti izbora pravolinijske jednačine kao analitičke funkcije.
Prilikom pronalaženja parametara jednačine zgodno je označiti indikator vremena tako da vrijedi sljedeća jednakost: . Da biste to učinili, ako postoji neparan broj nivoa u seriji, trenutku (periodu) vremena koji se nalazi u središtu serije dodjeljuje se vrijednost t = 0, prethodnim se dodjeljuju vrijednosti -1, -2, -3, itd. , i sljedeće - vrijednosti 1, 2, 3 itd. (tj. u koracima od 1 od sredine reda na jednu ili drugu stranu od centra).
Pretpostavimo da razmatramo vremensku seriju sa pet nivoa (za period od 2002. do 2006. godine), tada ćemo indikator uslovnog vremena označiti kao što je prikazano u tabeli. 9.18.
Uz paran broj nivoa, postoje dva momenta (perioda) vremena u sredini reda. Jednom od njih je dodijeljena vrijednost t = -1, a drugom t = +1. Tada prethodna vremena primaju vrijednosti -3, -5, itd., a sljedeće vrijednosti - +3, +5, itd. (tj. sa korakom od 2 u jednom ili drugom smjeru od centra).
Sa ovom metodom bilježenja vremena, sistem jednačina je pojednostavljen
Tada se koeficijenti jednačine a 0 i a 1 nalaze na sljedeći način:
Odredimo prema podacima u tabeli. 9.17, koji predstavlja niz dinamike sa parnim brojem nivoa, parametara pravolinijske jednačine (tablica 9.19).
| Godina | Prihodi banaka od poslovanja sa hartijama od vrednosti, miliona rubalja, god | t | t 2 | yt | Usklađene vrijednosti, y t |
|---|---|---|---|---|---|
| 2001 | 70 | -5 | 25 | -350 | 68,43 |
| 2002 | 92 | -3 | 9 | -276 | 91,258 |
| 2003 | 112 | -1 | 1 | -112 | 114,086 |
| 2004 | 135 | 1 | 1 | 135 | 136,914 |
| 2005 | 159 | 3 | 9 | 477 | 159,742 |
| 2006 | 185 | 5 | 25 | 925 | 182,57 |
| Suma | 753 | 0 | 70 | 799 | 753 |
Tražena jednačina prave ima oblik: y t = 125,5 + 11,414t.
Zamjenom odgovarajuće vrijednosti t u rezultirajuću jednadžbu, izračunavamo izjednačene teorijske vrijednosti indikatora (pogledajte posljednju kolonu Tablice 9.11). U ovom slučaju, zbroj izjednačenih vrijednosti mora biti jednak zbroju empirijskih vrijednosti (753); ako to nije slučaj, tada su parametri jednadžbe određeni pogrešno.
Grafikon konstruisan korišćenjem izjednačenih vrednosti indikatora će odražavati trend razvoja fenomena tokom vremena (slika 9.1).
Rice. 9.1.
Na osnovu dobijene jednadžbe trenda moguće je konstruisati prognostičke vrijednosti indikatora za različite vremenske periode zamjenom vrijednosti vremenske komponente u rezultirajuću jednadžbu. Na primjer, za 2007. godinu dobijamo sljedeće očekivane prihode:
y i = 125,5 + 11,414t = 125,5 + 11,414 * 7 = 205,398 (miliona rubalja).
Parabolično poravnanje drugog reda. Sa ubrzanom ili sporom promjenom nivoa dinamičke serije, kada su izračunate razlike drugog nivoa (apsolutna povećanja lanca u apsolutnom porastu lanca) konstantne, za analitičko poravnanje koristi se parabola drugog reda:
y i = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 .
Parametri jednadžbe su pronađeni metodom najmanjih kvadrata, a oznaka indikatora uvjetnog vremena t je apsolutno slična oznaci vremena pri konstruiranju prave linije.
Sistem normalnih jednadžbi za pronalaženje parametara jednadžbe parabole ima oblik:
Ako prihvatimo oznaku vremena u kojem je jednakost zadovoljena, sistem jednačina koji se razmatra može se pojednostaviti. Poprimiće sljedeći oblik:
Izvršimo analitičko usklađivanje podataka koji karakterišu dinamiku investicija za period 2001-2006. (Tabela 9.20).
| Indeks | Godina | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | |
| Ulaganja, milioni rubalja, y i | 98 | 100 | 130 | 193 | 280 | 391 |
| Prve razlike (apsolutni priraštaji lanca) | - | 2 | 30 | 63 | 87 | 111 |
| Druga razlika | - | - | 28 | 33 | 24 | 24 |
Izračunate druge razlike pokazuju relativnu konstantnost, pa uzimamo parabolnu jednačinu drugog reda kao analitičku funkciju za izjednačavanje. Naš izbor potvrđuje grafička analiza podataka (slika 9.2).
Rice. 9.2.
Izvršimo potrebne proračune za određivanje parametara jednačine u tabeli. 9.21.
| Godina | Ulaganje u odobreni kapital, miliona rubalja, god | t 2 | t 4 | y-t | y-t 2 | Usklađene vrijednosti, y i | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1999 | 98 | -5 | 25 | 625 | -490 | 2 450 | 97 |
| 2000 | 100 | -3 | 9 | 81 | -300 | 900 | 101 |
| 2001 | 130 | -1 | 1 | 1 | -130 | 130 | 132 |
| 2002 | 193 | 1 | 1 | 1 | 193 | 193 | 191 |
| 2003 | 280 | 3 | 9 | 81 | 840 | 2 520 | 278 |
| 2004 | 391 | 5 | 25 | 625 | 1 955 | 9 775 | 392 |
| Suma | 1 192 | 0 | 70 | 1 414 | 2 068 | 15 968 | 1 192 |
Izgradimo i riješimo sistem jednačina (tabela 9.15):
Dakle, tražena jednačina parabole ima oblik
y i =158,406 + 29,543t + 3,451t 2 .
Poravnanje eksponencijalnom funkcijom. Ako se nivoi serije mijenjaju eksponencijalno, itd. izračunati koeficijenti rasta lanca su relativno konstantni, tada za nivelaciju koriste eksponencijalnu funkciju oblika
Parametri eksponencijalne jednačine se određuju rješavanjem sljedećeg sistema normalnih jednačina:
Ako prihvatimo zapis vremena t u kojem je uslov zadovoljen, sistem postaje mnogo jednostavniji:
Izvršimo analitičko usklađivanje podataka koji karakterišu promjenu broja osiguravajućih društava u regionu za period 2000-2006. (Tabela 9.22).
| Godina | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Broj osiguravajućih društava, y i | 215 | 220 | 223 | 229 | 235 | 241 | 248 |
| Lančani faktori rasta | - | 1,023 | 1,014 | 1,027 | 1,026 | 1,026 | 1,029 |
Relativno konstantni koeficijenti rasta lanca omogućavaju odabir eksponencijalne funkcije kao analitičkog izraza trenda.
Izvršimo potrebne proračune za određivanje parametara odabrane jednačine u tabeli. 9.23.
| Godina | Broj osiguravajućih društava, god | Simbol vremena, t | t 2 | lgy | t – lgy | Usklađene vrijednosti, y t |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2000 | 215 | -3 | 9 | 2,332438 | -6,99732 | 210 |
| 2001 | 220 | -2 | 4 | 2,342423 | -4,68485 | 217 |
| 2002 | 223 | -1 | 1 | 2,348305 | -2,3483 | 223 |
| 2003 | 229 | 0 | 0 | 2,359835 | 0 | 230 |
| 2004 | 241 | 1 | 1 | 2,371068 | 2,371068 | 237 |
| 2005 | 241 | 2 | 4 | 2,382017 | 4,764034 | 244 |
| 2006 | 248 | 3 | 9 | 2,394452 | 7,183355 | 251 |
| Suma | 1 611 | 0 | 28 | 16,53054 | 0,287991 | 1 611 |
Sastavimo i riješimo sistem normalnih jednačina: Stoga se momenti (periodi) vremena jednostavno numerišu itd. indikatoru uslovnog vremena se dodeljuju vrednosti (1, 2, 3, itd.) počevši od prvog nivoa serije.2
Zamjenom vrijednosti indikatora uvjetnog vremena t u rezultirajuću jednadžbu, izračunavamo izjednačene vrijednosti y i i stavljamo ih u tablicu proračuna. Kao što vidimo, usklađene vrijednosti su prilično bliske empirijskim podacima, što nam omogućava da se nadamo dobijanju pouzdanih prognoza na osnovu konstruisanog modela.
Kada se vrši analitičko usklađivanje, često je teško unaprijed odrediti odgovarajući oblik jednadžbe trenda, posebno ako empirijski podaci grafički jasno ne pokazuju relevantnost za bilo koju analitičku funkciju. Zatim postupite na sljedeći način: napravite nekoliko jednadžbi trenda. Zatim se za svaku od njih izračunava rezidualna varijansa i model s najmanjom zaostalom varijansom se prepoznaje kao najbolji trenutno dostupan.
Preostala varijansa se izračunava pomoću formule
Ovo je jednostavnija metoda, ali postoje i druge, složenije metode.
Hronološki niz (dinamički niz, dinamički niz) je niz statističkih pokazatelja čija sekvencijalna promjena odražava razvoj društvenih pojava tokom vremena. Serija dinamike sadrži dva elementa: indikator vremena na koji se statistički pokazatelji odnose; nivo serije y.
Na osnovu vremena koje se reflektuje u seriji dinamike, razlikuju se momentne i intervalne hronološke serije.
U momentu niza dinamike, statistički pokazatelji karakterišu stanje neke pojave u određenom trenutku. Za trenutni niz dinamike karakteristično je da svaka naredna, pa zbir pokazatelja takve serije nema ekonomskog smisla.
Intervalni niz dinamike sastoji se od indikatora koji karakterišu veličinu pojave u određenom vremenskom periodu. Indikatori takve serije mogu se sumirati, što rezultira novom serijom dinamike, čiji svaki indikator karakteriše veličinu fenomena u dužem vremenskom periodu.
Prema načinu na koji se izražavaju dinamičke serije, mogu biti nizovi apsolutnih, relativnih i prosječnih vrijednosti.
Za karakterizaciju intenziteta promjena društvenih pojava tokom vremena izračunavaju se sljedeći pokazatelji: apsolutni rast, stopa rasta, stopa rasta, apsolutna vrijednost rasta od 1%, koeficijent napredovanja.
Zavisno od baze poređenja, mogu biti osnovni (jedan, konstantni nivo se uzima kao baza poređenja) i lančani (prethodni nivo se uzima kao baza poređenja).
Apsolutno povećanje y je razlika između nivoa serije, koja se izražava u mjernim jedinicama indikatora serije dinamike:
y osnovni = yi - yo;
y lanac = yi - yi-1,
gdje su ui nivoi dinamičke serije;
uo - osnovni nivo;
ush-1 - prethodni nivo.
Stope rasta Tr - odnos jednog nivoa prema drugom, uzet kao osnova poređenja, izražavaju se kao koeficijenti ili procenti:
Tr basic = ;
Tr lanac = .
Stopa rasta Tpr - odnos apsolutnog rasta i nivoa uzetog kao osnova poređenja, izražen u koeficijentima ili procentima:
T pr basic = ;
T pr lanac =
Apsolutna vrijednost povećanja od 1% A pokazuje koja je apsolutna vrijednost sadržana u 1%, a definirana je kao omjer apsolutnog povećanja lanca prema lančani tempo rast izražen u procentima:
One. apsolutna vrijednost povećanja od 1% također se može definirati kao 0,01 prethodnog nivoa.
Da bi se generalizirala dinamika društvenih pojava, utvrđuje se prosječni nivo niza dinamike, prosječni apsolutni rast, prosječna stopa rasta i prosječna stopa rasta.
Prosječni nivo niza dinamike naziva se prosječnim hronološkim, što daje opštu karakteristiku razvoja pojava tokom vremena.
U nizu dinamike intervala, prosječni nivo y je određen formulom:
gdje je n broj nivoa serije;
y - nivoi.
U trenutku serije dinamike:
1) sa jednakim intervalima između tačaka u vremenu, prosječni nivo se određuje po formuli:
gdje je n broj nivoa;
2) sa nejednakim intervalima između vremenskih tačaka, prosječni nivo se određuje po formuli:
gdje je ti vrijednost intervala između vremenskih tačaka.
Prosječno apsolutno povećanje određeno je pojedinačnim vrijednostima apsolutnih povećanja lanca:
Prosječna stopa rasta određena je formulom geometrijske srednje vrijednosti:
gdje je Ti stopa rasta;
m je broj stopa rasta.
Ako su poznati nivoi serije dinamike, onda se prosječna stopa rasta može odrediti kao
gdje su uo, un nivo prvog i posljednjeg perioda (trenutka) u nizu dinamike.
Prosječna stopa rasta utvrđuje se na osnovu prosječne stope rasta:
Tpr = Tr - 1 (100%).
Jedan od zadataka koji se rješavaju prilikom analize dinamike je utvrđivanje obrasca (trenda) razvoja neke pojave tokom vremena.
U tu svrhu koriste se metode povećanja intervala, pokretnih prosjeka i analitičkog niveliranja.
Metoda povećanja intervala je da se originalna dinamička serija transformiše i zamjenjuje drugom, u kojoj se indikatori odnose na duže vremenske periode. Ova metoda se koristi samo za intervalne vremenske serije.
Metoda pokretnog prosjeka se sastoji u formiranju uvećanih intervala koji se sastoje od istog broja nivoa. U ovom slučaju svaki sljedeći interval dobivamo postupnim pomicanjem od početnog intervala dinamičke serije za jedan interval; korišćenjem uvećanih intervala određuje se prosek nivoa uključenih u svaki interval.Kada se metodom analitičkog nivelisanja identifikuje trend razvoja neke pojave tokom vremena, stvarni nivoi se zamenjuju teorijskim, izračunatim na osnovu jednadžba krive ili prave linije koja odražava opći trend.
Ako je niz usklađen s jednadžbom prave linije, onda će opći trend biti izražen jednadžbom:
gdje su a i b parametri jednačine;
yt - teorijski nivoi serije dinamike;
t - periodi ili momenti u vremenu.
Da bi se izračunao yt za poznato t, potrebno je prvo odrediti parametre jednačine. Da biste to učinili, koristi se metoda najmanjih kvadrata, koja daje sistem linearnih jednadžbi:
gdje su y stvarni nivoi dinamičke serije;
n je broj ovih nivoa.
Ovaj sistem jednadžbi se može pojednostaviti ako numerišemo vremenske periode t na način da njihov zbir bude jednak 0 (t = 0). Da biste to učinili, u dinamičkoj seriji s parnim brojem nivoa, numeriranje mora početi od sredine serije brojevima -1, +1; u dinamičkom nizu sa neparnim brojem nivoa, numerisanje mora početi od sredine serije od 0, zatim